Übungsblatt 1 - elliptische Kurven

Das Übungsblatt dient – ohne Mathematik zu betreiben – der Einführung in die asymmetrische Kryptographie mit elliptischen Kurven. Hierzu wird an einem sehr einfachen Beispiel der Algorithmus zur Bestimmung eines öffentlichen Schlüssels zu einem gegebenen geheimen Schlüssel nachvollzogen.

 

Aufgabe 1

Lesen Sie einen Einführungstext zu elliptischen Kurven

•  Johan Dams: An Introduction to Elliptic Curve Cryptography (enthält alles, was Sie zur Lösung der Aufgabe benötigen)
• Andrea Corbellini: Elliptic Curve Cryptography - a gentle introduction (sehr anschaulich, aber hier fehlt leider die Berechnungsformel für binäre Körper GF(2^m) )

Das müsste an Mathematik genügen!

 

Aufgabe 2

Berechnen Sie im Galois Feld GF(2⁴) folgende Ausdrücke bezüglich des irreduziblen Polynoms t⁴+t+1 :

1.    2·(t+1)
2.    (t³+t)·(t²+t+1)

Anmerkung: In der Praxis arbeitet man (beispielsweise) mit dem Galois Feld GF(2¹⁶⁸).

 

Aufgabe 3

Es sei E die elliptische Kurve y²+x·y = x³+a·x²+b über dem Galois Feld GF(2⁴) mit a=t+1 und b=t²+1 .
Zeigen Sie, dass G=(1,t²+1) ein Punkt auf der elliptischen Kurve E ist.

 

Aufgabe 4

Es seien die elliptische Kurve E und der fest gewählte Punkt G=(1,t²+1) aus Aufgabe 3 gegeben.
Berechnen Sie zum geheimen Schlüssel s=3 den dazugehörigen öffentlichen Schlüssel w (der ein Punkt der elliptischen Kurve E ist).

Anmerkung: Arbeitet man mit dem Galois Feld GF(2¹⁶⁸), so verwendet man geheime Schlüssel s bis zu einer Länge von 161 Bit. 

 

Rechtzeitige Abgabe des Übungsblatts per LEA - Lernen und Arbeiten online . Abgabe am Montag, den 15.10. - Lea wird noch freigeschaltet.